1楼：感性的弓
在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。
早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后，i.牛顿，j.
-l.拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。
插值问题的提法是：假定区间[a，b］上的实值函数f（x）在该区间上 n＋1个互不相同点x0，x1……xn 处的值是f [x0］，……f（xn），要求估算f（x）在[a，b］中某点的值。其做法是：
在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数c0，c1，……**的函数类φ(c0，c1，……**)中求出满足条件p（xi）＝f（xi）（i＝0，1，…… n）的函数p(x)，并以p()作为f()的估值。此处f（x）称为被插值函数，c0，x1，……xn称为插值结(节)点，φ(c0，c1，……**)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，φ（c0，……**）中满足上式的函数称为插值函数，r（x）＝ f（x）－p（x）称为插值余项。当估算点属于包含x0，x1……xn的最小闭区间时，相应的插值称为内插，否则称为外插。
多项式插值 这是最常见的一种函数插值。在一般插值问题中，若选取φ为n次多项式类，由插值条件可以唯一确定一个n次插值多项式满足上述条件。从几何上看可以理解为：
已知平面上n＋1个不同点，要寻找一条n次多项式曲线通过这些点。插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日插值多项式，另一个是牛顿插值多项式。
埃尔米特插值 对于函数f（x），常常不仅知道它在一些点的函数值，而且还知道它在这些点的导数值。这时的插值函数p（x），自然不仅要求在这些点等于f(x）的函数值，而且要求p（x）的导数在这些点也等于f（x)的导数值。这就是埃尔米特插值问题，也称带导数的插值问题。
从几何上看，这种插值要寻求的多项式曲线不仅要通过平面上的已知点组，而且在这些点（或者其中一部分）与原曲线“密切”，即它们有相同的斜率。可见埃尔米特插值多项式比起一般多项式插值有较高的光滑逼近要求。
分段插值与样条插值 为了避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差。为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法——三次样条插值成为比较理想的工具。见样条函数。
三角函数插值 当被插函数是以2π为周期的函数时，通常用n阶三角多项式作为插值函数，并通过高斯三角插值表出。
插值（interpolation），有时也称为“重置样本”，是在不生成像素的情况下增加图像像素大小的一种方法，在周围像素色彩的基础上用数学公式计算丢失像素的色彩。有些相机使用插值，人为地增加图像的分辨率。
插值：用来填充图像变换时像素之间的空隙。
说道插值，还有0.618法插值，三点二次插值和二点二次插值。
如何求拉格朗日插值函数
2楼：匿名用户
用实验点对应的函数值乘上那个点对应的lagrange插值基函数，再整个求个和就行了
拉格朗日插值：l1(x)...ln(x)为插值基函数，求sum(k=0 to n)(k *lk(x)) 、sum(j=0 to n)(j*lk(j));
3楼：山东的女孩儿
第一问可以考虑对x在n+1个不同的节点上的拉格朗日插值；
第二问sum(j=0 to n)(j*lk(j))这个里面的lk(j))是不是lk(xj))，如果是的话，考虑基函数的性质lk(xj))=delta jk
拉格朗日插值公式？
4楼：匿名用户
一．线性插值(一次插值）
已知函数f(x)在区间[xk ,xk+1 ]的端点上的函数值yk =f(xk ), yk+1 = f(xk+1 ),求一个一次函数y=p1 (x)使得yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ), 其几何意义是已知平面上两点(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一条直线过该已知两点。
1. 插值函数和插值基函数
由直线的点斜式公式可知：
把此式按照 yk 和yk+1 写成两项:
记并称它们为一次插值基函数。该基函数的特点如下表：
从而p1 (x) = yk lk (x) + yk+1 lk+1 (x)
此形式称之为拉格朗日型插值多项式。其中, 插值基函数与yk 、yk+1 无关，而由插值结点xk 、xk+1 所决定。一次插值多项式是插值基函数的线性组合, 相应的组合系数是该点的函数值yk 、yk+1 .
例1: 已知lg10=1,lg20=1.3010, 利用插值一次多项式求lg12的近似值。
解: f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010, 设
x0 =10 ,x1 =20 ,y0 =1 ,y1 =1.3010
则插值基函数为：
于是, 拉格朗日型一次插值多项式为:
故 :即lg12 由lg10 和lg20 两个值的线性插值得到,且具有两位有效数字(精确值lg12=1.0792).
二．二次插值多项式
已知函数y=f(x)在点xk-1 ,xk ,xk+1 上的函数值yk-1 =f(xk-1 ),yk =f(xk ), yk+1 =f(xk+1 ), 求一个次数不超过二次的多项式p2 (x), 使其满足,
p2 (xk-1 )=yk-1 , p2 (xk )=yk , p2 (xk+1 )=yk+1 .
其几何意义为:已知平面上的三个点
(xk-1 ,yk-1 ),(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),
求一个二次抛物线, 使得该抛物线经过这三点。
1.插值基本多项式
有三个插值结点xk-1 ,xk ,xk+1 构造三个插值基本多项式，要求满足：
(1) 基本多项式为二次多项式； (2) 它们的函数值满足下表：
因为lk-1 (xk )= 0,lk-1 (xk+1 )=0, 故有因子(x-xk )(x-xk+1 ), 而其已经是一个二次多项式, 仅相差一个常数倍, 可设
lk-1 (x)=a(x-xk )(x-xk+1 ),
又因为lk-1 (xk-1 )=1 ==> a(xk-1 -xk )(xk-1 -xk+1 )=1
得 从而
同理得基本二次多项式见右上图(点击按钮“显示li”)。
2. 拉格朗日型二次插值多项式
由前述, 拉格朗日型二次插值多项式:
p2 (x)=yk-1 lk-1 (x)+yk lk (x)+yk+1 lk+1 (x),p2 (x)
是三个二次插值多项式的线性组合,因而其是次数不超过二次的多项式,且满足:
p2 (xi )=yi , (i=k-1,k,k+1) 。
例2 已知：
xi 10 15 20
yi=lgxi 1 1.1761 1.3010
利用此三值的二次插值多项式求lg12的近似值。
解：设x0 =10,x1 =15,x2 =20,则:
故:所以
7利用三个点进行抛物插值得到lg12的值,与精确值lg12=1.0792相比,具有3位有效数字,精度提高了。
三、拉格朗日型n次插值多项式
已知函数y=f(x)在n+1个不同的点x0 ,x1 ,…,x2 上的函数值分别为
y0 ,y1 ,…,yn ,求一个次数不超过n的多项式pn (x),使其满足:
pn (xi )=yi , (i=0,1,…,n),
即n+1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式。
1. 插值基函数
过n+1个不同的点分别决定n+1个n次插值基函数
l0 (x),l1 (x),…,ln (x)
每个插值基本多项式li (x)满足：
(1) li (x)是n次多项式;
(2) li (xi )=1,而在其它n个li (xk )=0 ,(k≠i)。
由于li (xk )=0 ,(k≠i), 故有因子:
(x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )
因其已经是n次多项式，故而仅相差一个常数因子。令:
li (x)=a(x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )
由li (xi )=1,可以定出a, 进而得到：
2. n次拉格朗日型插值多项式pn (x)
pn (x)是n+1个n次插值基本多项式l0 (x),l1 (x),…,ln (x)的线性组合,相应的组合系数是y0 ,y1 ,…,yn 。即:
pn (x)=y0 l0 (x)+y1 l1 (x)+…+yn ln (x) ,
从而pn (x)是一个次数不超过n的多项式,且满足
pn (xi )=yi , (i=0,1,2,…,n).
例3 求过点(2,0),(4,3),(6,5),(8,4),(10,1)的拉格朗日型插值多项式。
解 用4次插值多项式对5个点插值。
所以四、拉格朗日插值多项式的截断误差
我们在[a,b]上用多项式pn (x) 来近似代替函数f(x), 其截断误差记作
rn (x)=f(x)-pn (x)
当x在插值结点xi 上时rn (xi )=f(xi )-p n(xi )=0,下面来估计截断误差：
定理1：设函数y=f(x)的n阶导数y(n) =f(n) (x)在[a,b]上连续，
y(n+1) = f(n+1) (x)
在(a,b)上存在；插值结点为:
a≤x0 http://hi.baidu.
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5楼：匿名用户
建议你看看这上面的证明过程: http://hi.
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