1楼：
数学归纳法（mathematical induction, mi）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。
这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法 。
在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明无穷序列情形都是正确的（第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。
虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。
最小自然数原理证明数学归纳法的问题！ 高手进！ 80
2楼：匿名用户
”我有困惑。我认为要证明数学归纳法是成立的 ，即是证明他的反面不成立。“ 这个思路是错的，就算是证明他的反面是错的也不能证明正面肯定成立
就好像请证明苹果是家具一样，因为杯子不是苹果，杯子不是家具，所以苹果是家具，这显然是不对的
数学归纳法是从正面来证明，当n=1时成立，当n=n+1时都成立，这就是数学归纳法的精神。由1递加到所有的数都成立。
数学归纳法所根据的原理是不是最小数原理
3楼：卜时芳赖婵
你好，很高兴回答你的问题：
数学归纳法的过程分为两部分：
（1）先证明n=1时命题成立，在实际操作中，把n=1代进去就行了，就像要你证明“当n+1时1+n=2成立”
（2）假设n=k时命题成立，证明n=k+1时命题成立
你可以这样理解：第一部分证明n=1成立。绝大部分命题，n取任意非零自然数都成立，既然这样，先证最基本的n=1吧。
第二部分，既然当n=k成立时，n=k+1成立，那么，n=1已经证明成立了，n=1+1，也就是n=2时也会成立。n=2成立，按照惯例n=2+1，也就是n=3成立。按照惯例，n=3+1，n=4+1……都会成立，所以所有的自然数都能使命题成立。
你可以把第一部分当作一个坚实的基础，既然n取任意自然数成立（大部分命题是如此），那么n=1成立是理所当然的。第二部分是一个骨牌的过程，1证明2，2证明3，3证明4……证明所有非0自然数。
哪位高人能用数学归纳法简单证明费马小定理？我才开始自学奥赛教程，很多问题不懂！
4楼：匿名用户
当a=1时显然成立；假设对于某正整数a成立，即a^p与a对模p同余，则考虑(a+1)^p与a+1对模p是否同余。（a+1)^p=a^p+(p,1)a^(p-1)+...+(p,p-1)a+1在上述式右侧除第一项和最后一项都是p的倍数，故(a+1)^p与a^p+1对模p同余,由假设a^p与a对模p同余故a+1)^p与a+1对模p同余
第一，第二数学归纳法
5楼：angela韩雪倩
第一数学归纳法可以概括为以下三步：
(1)归纳奠基：证明n=1时命题成立；
(2)归纳假设：假设n=k时命题成立；
(3)归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立．
第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题，如果：
（1）当n＝1时，命题成立；
（2）假设当n≤k时命题成立，由此可推得当n＝k+1时，命题也成立。
那么，命题对于一切自然数n来说都成立。
扩展资料：
在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的（第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。
虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。
数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，
第一步：验证n取第一个自然数时成立
第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。
最后一步总结表述。
需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可。
数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。但是在另一些公理的基础上，它可以用一些逻辑方法证明。数学归纳法原理可以由下面的良序性质（最小自然数原理）公理可以推出：
自然数集是良序的。（每个非空的正整数集合都有一个最小的元素）
比如这个正整数集合中有最小的数——1.
下面我们将通过这个性质来证明数学归纳法：
对于一个已经完成上述两步证明的数学命题，我们假设它并不是对于所有的正整数都成立。
对于那些不成立的数所构成的集合s，其中必定有一个最小的元素k。（1是不属于集合s的，所以k>1）
k已经是集合s中的最小元素了，所以k-1是不属于s，这意味着k-1对于命题而言是成立的——既然对于k-1成立，那么也对k也应该成立，这与我们完成的第二步骤矛盾。所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立。
注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式。更确切地说，两者是等价的。
6楼：好主意公民
如果采用第二数学归纳法 假设n<=k成立,证n=k+1成立,可以利用n=1,2,.,k 如果只假设n=k,那就只能利用n=k
7楼：小女偏偏
第一，第二数学归纳法，是学习数学的方法。学习要有方法，才会不累
实数的“数学归纳法” 20
8楼：少阴司天
没有。数学中，数学归纳法本质上是作为自然数的公理接受的。自然与实数不能构成一一对应，故数学归纳法不能用于实数。
若要证明某定理对任意实数成立，需要先假设一实数变量 x，然后证明定理对 x 成立。因为证明时 x 并没有被指定为确定的实数，故无论以任何确定的实数替换 x ，定理都会成立。即，只要证明定理对 x 成立，即证明了定理对所有实数都成立。
此法对自然数同样有效。
数学归纳法的不同之处在于其证明针对的是具体的数，或是具有某些附加条件的数。只不过，可以根据已经证明的内容形成推理链条，最终证明定理对所有自然数成立。由于数学归纳法本质上是作为公理接受的，所以只要能证明可以形成推理链条的内容，就可以直接写出结论。
9楼：匿名用户
我国著名的数学家、数学教育家张景中院土，在1986年提出了关于实数理论的“连续归
纳法原理”这是一个相当简单、便于应用和掌握的定理．这个定理，可以作为刻画实数的连续性的公理，以代替实数理论中的其它公理；从它出发，可以用统一模式推出已知的一系列关于实数的定理；从它出发，可以用统一模式证明微积分中涉及连续性的各个命题．这是张景中院土关于教育数学的一项重要成果．……
证明了一个适用于任意有序集的一般归纳原理,以此为基础导出了数学归纳法、超限归纳法和连续归纳法,从而揭示出三种归纳法的共同基础。文中的例子显示出连续归纳法可用统一模式简单明了地给出数学分析中若干定理的证明,如果在数学专业的分析教学中应用连续归纳法,将有助于克服长期存在的教学难点,提高教学的质量和效率。同时也为分析推理的机械化进行了必要的准备。
10楼：匿名用户
设p(x)是关于实数的命题，即对任一实数它都给出“真”或“假”。如果① 存在a,当x﹤a时，p(x)成立；② 对任何x≧a, 存在正数δ，使得命题对小于x成立蕴含对小于x+δ也成立；那么p(x)对一切实数成立。
此即实数集上的数学归纳法。类似于自然数的首数不必为1，这里也可以应用于区间（a,+∞）.
11楼：令狐木愚
1）证明对于一个实数a成立。
2）证明当对于实数n成立时，对n+1也成立。
3）则证明，对于一切大于a的实数成立。
同理证明比a小的。
12楼：匿名用户
没有.数学归纳法是一种推理证明的方法,而实数与实数之间没有固定的步长.
数学归纳法为什么必须证明第一步我一直觉得很矛盾 为
13楼：阳光语言矫正学校
数学归纳法（mathematical induction, mi）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。
这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法[1] 。
在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的（第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。[2]
虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。
最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：
证明当n= 1时命题成立。
假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）
这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。
把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：
证明第一张骨牌会倒。
证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。
骨牌一个接一个倒下就如同一个值接下一个值
发展历程编辑
已知最早的使用数学归纳法的证明出现于francesco maurolico的arithmeticorum libri duo（1575年）。maurolico利用递推关系巧妙地证明出前n个奇数的总和是n^2，由此总结出了数学归纳法。
最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成：
递推的基础：证明当n=1时表达式成立。
递推的依据：证明如果当n=m时成立，那么当n=m+1时同样成立。
这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。
14楼：
之前有上过一门课叫现代数学与中学数学，老师说到了学生要能够在认知上接受这个命题，而这个是否成立，是由这个整体决定的，更简单的说就是这个能否成立，然后还有初值的验证，这样对数学归纳法的原理的理解才算完整的.
对于高中生而言，要认识到数学归纳法所建立的是一种传推关系
然后把数学归纳法看成一个过程，而不是结果，这样理解会比较好……（怎么感觉还是不好理解啊）
数学归纳法是直接证明还是间接证明?
15楼：匿名用户
数学归纳法既不是直接证明也不是间接证明。
在数学上常常是从已知条件或者定义、公理、定理出发，通过逻辑推理，从而使新的结果获得证明。常用的数学证明方法可以分为演绎法和数学归纳法两大类。
演绎法有下面两种形式：
1. 直接证法。它的格式可以写成“因为……，所以……，于是……，从而……，这就证明了所需要的结果”。
2. 间接证法。常用的是反证法，它的格式可以写成“设所需要的结果不成立，则……，于是……，从而……，这就导出矛盾，因此所需要的结果成立”，反证法有时要与穷举法结合起来运用，即将所需要的结果的反面的所有可能情况一一列出，然后分别导出矛盾。
一般说来，凡能用直接证法证明的命题，一定可以用反证法来证明。反过来也对。
数学归纳法有两种──有限数学归纳法和无限数学归纳法。在中学只学习有限常数归纳法（即具体的k都是有限的正整数），简称数学归纳法。