设f（x）在上具有一阶连续导数，f（0）0，证明

1楼：你妹

令 f(x) = f(x) - x, f(0) > 0, f(1) < 0, f(x)在[0,1]上可导=>连续，

故至少在(0,1)内有一点ξ，使得 f(ξ) = 0, 即 f(ξ) = ξ.

下面用反证法证明 ξ 只有一个。

假设存在ξ1，ξ2∈(0,1) , f(ξ1) =0, 且 f(ξ2) = 0.

由罗尔中值定理，必存在 η ∈(ξ1，ξ2), f '(η) = f '(η) - 1 = 0

=> f '(η) = 1 这与 f(x)的导数不为1 矛盾，假设错误。

因此在(0,1)内有唯一点，使得 f(ξ) = ξ.

设f(x)在[0,1]上具有连续导数,且f(0)=0.证明:

2楼：匿名用户

利用定积分的柯西-许瓦茨不等式

可得|f(1)|小于等于右边的定积分

不等式恒成立

则，|f(x)|的最大值小于等于右边的定积分过程如下：

3楼：匿名用户

∵对任意的x，

f(0)＝f(x)+f'(x)(0－x)

f(1)＝f(x)+f'(x)(1－x)

两式相加得

∴2f(x)＝（2x-1)f'(x)

即f(x)=(x-1/2)f'(x)且0≤x≤1∴l∫ f(x)dx l= l∫ (x-1/2)f'(x)dx l≤ ∫ |(x-1/2)f'(x)| dx= 1/2 ∫ |f’(x) |dx

设y=f（x）在x=x0的邻域内具有三阶连续导数，三阶导数不等于0。

4楼：

(x0,f(x0))一定是拐点。

f'''(x0)=lim f''(x)/(x-x0)。

假设f'''(x0)＞0，根据保号性，在x0的某去心邻域内，f''(x)/(x-x0)＞0，进而在x0的左侧f''(x)＜0，右侧f''(x)＞0，所以(x0,f(x0))是拐点。

假设f'''(x0)＜0，根据保号性，在x0的某去心邻域内，f''(x)/(x-x0)＜0，进而在x0的左侧f''(x)＞0，右侧f''(x)＜0，所以(x0,f(x0))是拐点。

f（x）在[-a，a]上具有二阶连续导数，且f（0）=0（1）写出f（x）的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；（

5楼：匿名用户

（1）直接套用公式可得：

f（x）=f（0）+f′（0）x+1

2!f′(0)+…+1n!f

(n)(0)+f

(n+1)

(ξ)(n+1)

，其中 ξ 在0和x之间．

（2）由（1）可得：∫a

?af(x)dx=∫a?a

f′(0)xdx+∫a?a

xx!f″(ξ)dx=∫a

?axx!f″(ξ)dx，

因为f（x）在[-a，a]上具有二阶联系偏导数∫a?af′(0)xdx，

故f″（x）具有最大值和最小值，

设f″（x）最大值为m，最小值为m，

则 m≤f″（ξ）≤m，

所以：m2∫

a?axdx

≤∫a

?af(x)dx=12∫

a?axf″(ξ)dx≤m2∫

a?axdx，

即：ma3≤∫

a?af(x)dx≤ma3，

即：m≤3a∫

a?af(x)dx≤m，

因为 f″（x）连续，

由连续函数的介值定理可得，至少存在一点η∈[-a，a]，使得：

f″（η）=3a∫

a?af(x)dx，

即：af″(η)＝3∫a?a

f(x)dx．

设奇函数f（x）在[-1，1]上具有二阶导数，且f（1）=1，证明：（1）存在ξ∈（0，1），使得f′（ξ）=1；

6楼：匿名用户

证明如下：

1、由于f（x）为奇函数，则f（0）=0，由于f（x）在[-1，1]上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在ξ∈（0，1），使得f′(ξ)＝f(1)f(0) / 10 ＝1

2、由于f（x）为奇函数，则f'（x）为偶函数，由（1）可知存在ξ∈（0，1），使得f'（ξ）=1，且f'（-ξ）=1，

令φ（x）=f'（x）+f（x），由条件显然可知在φ（x）在[-1，1]上可导，由拉格朗日中值定理可知，存在η∈（-1，1），使得φ(1)φ(1) / 1(1) ＝φ′(η)成立；

φ（1）-φ（-1）=f'（1）+f（1）-f'（-1）-f（-1）=2f（1）=2，从而φ'（η）=1成立，即f''（η）+f'（η）=1

设函数f(x)在[0,1]上可导,对于[0,1]上每一点x，都有0