为圆周率，e 2.71828为自然对数的底数求函

1楼：我爱小调

（ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），

∵f（x）=lnx

x，∴f′（x）=1?lnxx，

当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，函数f（x）单调递增；

当f′（x）＜0，即x＞e时，函数f（x）单调递减．

故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．

（ⅱ）∵e＜3＜π，

∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．

于是根据函数y=lnx，y=ex，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，

故这六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．

由e＜3＜π及（ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即lnπ

π＜ln3

3＜lnee，

由lnπ

π＜ln3

3，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3；

由ln3

3＜lne

e，得ln3e＜lne3，∴3e＜e3．

综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e．

（ⅲ）由（ⅱ）知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，

又由（ⅱ）知，lnπ

π＜lne

e，得πe＜eπ，

故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．

由（ⅰ）知，当0＜x＜e时，f（x）＜f（e）=1

e，即lnxx＜1

e．在上式中，令x=e

π，又e

π＜e，则lneπ＜e

π，从而2-lnπ＜e

π，即得lnπ＞2?eπ．①

由①得，elnπ＞e（2-e

π）＞2.7×（2-2.72

3.1）＞2.7×（2-0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπe＞lne3，

∴e3＜πe．

又由①得，3lnπ＞6-3e

π＞6-e＞π，即3lnπ＞π，

∴eπ＜π3．

综上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6个数从小到大顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π．

π为圆周率，e=2.71828…为自然

2楼：°格子先生ov榻

（ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．由f（x）得

f′(x)＝1?lnxx．

当f'（x）＞0，即0＜x＜e时，f（x）单调递增；当f'（x）＜0，即x＞e时，f（x）单调递减，

所以函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．

（ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，从而有ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．于是，根据函数y=lnx，y=ex，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，

∴这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由（ⅰ）知，f（x）=lnx

x在[e，+∞）上单调递减，

∴lnπ

π＜ln3

3ln3

3＜lnee即

3lnπ＜πln3

eln3＜3lne

得lnπ

＜lnπ

lne＜lne∴

已知函数f(x)＝lnx+kex(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），

3楼：手机用户

（1）因为函数f(x)＝

lnx+kex

，所以f

′(x)＝(lnx+k)′?e

x?(lnx+k)?exe

2x=1x?e

x?lnx?e

x?k?exe

2x，因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，所以f′（1）=0，即e?e?ln1?kee＝0，解得k=1；

（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由f′(x)＝(1

x?lnx?1)exe

2x，令g（x）=1

x?lnx?1，此函数只有一个零点1，且当x＞1时，g（x）＜0，当0＜x＜1时，g（x）＞0，

所以当x＞1时，f′（x）＜0，所以原函数在（1，+∞）上为减函数；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，所以原函数在（0，1）上为增函数．

故函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．

4楼：真慨逢靖易

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**如下:$(

5楼：高临辛一嘉

解答:(ⅰ)解:f′(x)=1x

-lnx-kex，

依题意，∵曲线y=f(x)

在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，

∴f′(1)=

1-ke

=0，∴k=1为所求.

(ⅱ)解:k=1时，f′(x)=1x

-lnx-1

ex(x＞0)

记h(x)=1x

-lnx-1，函数只有一个零点1，且当x＞1时，h(x)＜0，当0＜x＜1时，h(x)＞0，

∴当x＞1时，f′(x)＜0，∴原函数在(1，+∞)上为减函数;当0＜x＜1时，f′(x)＞0，

∴原函数在(0，1)上为增函数.

∴函数f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，+∞).

(ⅲ)证明:g(x)=(x2+x)f′(x)=

1+xex

(1-xlnx-x)，先研究1-xlnx-x，再研究

1+xex

.①记r(x)=1-xlnx-x，x＞0，∴r′(x)=-lnx-2，令r′(x)=0，得x=e-2，

当x∈(0，e-2)时，r′(x)＞0，r(x)单增;

当x∈(e-2，+∞)时，r′(x)＜0，r(x)单减.

∴r(x)max=r(e-2)=1+e-2，即1-xlnx-x≤1+e-2.

②记s(x)=

1+xex

，x＞0，

∴s′(x)=-xex

＜0，∴s(x)在(0，+∞)单减，

∴s(x)＜s(0)=1，即

1+xex

＜1.综①、②知，g(x))=

1+xex

(1-xlnx-x)≤(

1+xex

)(1+e-2)＜1+e-2.

已知函数f（x）= lnx+k e x （k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在

6楼：手机用户

（ⅰ）f′(x)=1 x

-lnx-k ex

，依题意，∵曲线y=f（x） 在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，

∴f′(1)=1-k e

=0，∴k=1为所求．

（ⅱ）k=1时，f′(x)=1 x

-lnx-1 ex

（x＞0）

记h（x）=1 x

-lnx-1，函数只有一个零点1，且当x＞1时，h（x）＜0，当0＜x＜1时，h（x）＞0，

∴当x＞1时，f′（x）＜0，∴原函数在（1，+∞）上为减函数；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，

∴原函数在（0，1）上为增函数．

∴函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．

（ⅲ）证明：g（x）=（x2 +x）f′（x）=1+x ex

（1-xlnx-x），先研究1-xlnx-x，再研究1+x ex

．①记r（x）=1-xlnx-x，x＞0，∴r′（x）=-lnx-2，令r′（x）=0，得x=e-2 ，

当x∈（0，e-2 ）时，r′（x）＞0，r（x）单增；

当x∈（e-2 ，+∞）时，r′（x）＜0，r（x）单减．

∴r（x）max =r（e-2 ）=1+e-2 ，即1-xlnx-x≤1+e-2 ．

②记s（x）=1+x ex

，x＞0，

∴s′(x)=-x ex

＜0，∴s（x）在（0，+∞）单减，

∴s（x）＜s（0）=1，即1+x ex

＜1．综①、②知，g（x））=1+x ex

（1-xlnx-x）≤（1+x ex

）（1+e-2 ）＜1+e-2 ．

已知函数f（x）=lnx+kex（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x） 在点（1，f（1））处的

7楼：杜康牌

（ⅰ）解：f′(x)＝1x

?lnx?kex

，依题意，∵曲线y=f（x） 在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，

∴f′(1)＝1?k

e=0，

∴k=1为所求．

（ⅱ）解：k=1时，f′(x)＝1

x?lnx?1ex

（x＞0）

记h（x）=1

x-lnx-1，函数只有一个零点1，且当x＞1时，h（x）＜0，当0＜x＜1时，h（x）＞0，

∴当x＞1时，f′（x）＜0，∴原函数在（1，+∞）上为减函数；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，

∴原函数在（0，1）上为增函数．

∴函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．

（ⅲ）证明：g（x）=（x2+x）f′（x）=1+xex

（1-xlnx-x），先研究1-xlnx-x，再研究1+xex

．①记r（x）=1-xlnx-x，x＞0，∴r′（x）=-lnx-2，令r′（x）=0，得x=e-2，

当x∈（0，e-2）时，r′（x）＞0，r（x）单增；

当x∈（e-2，+∞）时，r′（x）＜0，r（x）单减．

∴r（x）max=r（e-2）=1+e-2，即1-xlnx-x≤1+e-2．

②记s（x）=1+xex

，x＞0，

∴s′(x)＝?xex

＜0，∴s（x）在（0，+∞）单减，

∴s（x）＜s（0）=1，即1+xex

＜1．综①、②知，g（x））=1+xex

（1-xlnx-x）≤（1+xex

）（1+e-2）＜1+e-2．

已知函数f（x）=ex（e=2.71828…是自然对数的底数），x∈r．（ⅰ）求函数y=f（x）的图象过原点的切线方程

8楼：s搝挵

（ⅰ）解：设切线方程为y=kx，切点为（x0，y0），则

kx＝e

xk＝e

x∴x0=1，k=e，