1楼：电灯剑客
λ矩阵的秩就是**ith标准型中非零对角元的个数，这和普通数量矩阵的秩的定义是一致的
2楼：玲玲的湖
矩阵的特征多项式f(λ)=|λe-a|
3楼：归来的n维
k是λ矩阵a的秩如果a的k级主子式存在不为0的，而所有的k+1级主子式均为0。
λi-a的秩为n
4楼：匿名用户
恩，我稍微看懂一点了，这个是λ-矩阵，通过初等变换变为**ith标准型，依照这个东西可以列出他的最小多项式，初等因子组和行列式因子组，由这个还可以得到jordan标准型，但我依然没看清楚你问的问题。。。这个秩应该是对应于jordan标准型里jordan块的块数，如果我没理解错的话
为什么nxn矩阵的特征多项式的秩一定是n
5楼：匿名用户
你是想说为什么 \lambda 的最高次一定是n嘛？
因为求特征多项式
时，前面有一个 \lambda i , 使得矩阵的每行每列中都有一个\lambda,且无法用初等变换消除，所以最后求出来最高次一定是n次
6楼：匿名用户
特征多项式是一个多项式，只有矩阵才会谈它的秩是多少
矩阵的秩与特征值有什么关系
7楼：景田不是百岁山
1、方阵a不满秩等价于a有零特征值。
2、a的秩不小于a的非零特征值的个数。
线性变换秩是多少，就一定找到有多少个线性无关的特征向量。因为一个特征向量只能属于一个特征值，所以有多少个线性无关的特征向量，就有多少个特征值（不管特征值是不是一样）。这里有n个1，都是一样的（从特征多项式也知道有n个重根）。
因为非退化的线性替换不改变空间的维数，不改变矩阵的秩。
8楼：匿名用户
这是因为，矩阵a的相似对角矩阵的主对角元都是矩阵a的特征值，又因为矩阵a的秩与它的相似对角阵的秩相等，因此，如果矩阵a的秩为n，那么它就有n个非零特征值。
9楼：匿名用户
为讨论方便，设a为m阶方阵
证明：设方阵a的秩为n
因为任何矩阵都可以通过一系列初等变换，变成形如
1 0 … 0 … 0
0 1 … 0 … 0
…………………
0 0 … 1 … 0
0 0 … 0 … 0
…………………
0 0 … 0 … 0
的矩阵，称为矩阵的标准形（注：这不是二次型的对称矩阵提到的标准形）
本题讨论的是方阵，就是可以通过一系列初等行变换的标准形为
主对角线前若干个是1；其余的是若干个0
以及除对角线以外的元素都是0。设a的标准形为b
因为“m×m阶矩阵构成的数域p上的线性空间”与
“该线性空间上的全体线性变换在数域p上的线性空间”同构。
所以研究得到线性空间的性质可以照搬到线性变换空间上应用，
从同构的意义上说，他们是“无差别”的。
（由于线性变换符号的字体不能单独以花体字体区别，所以
用形如“线性变换a”，表示线性变换
用形如“矩阵a”，表示线性变换的矩阵）
前面知识应该提到的内容：
一系列初等矩阵的乘积是非退化的，初等变换不改变矩阵的秩，初等变换是可逆的
所以矩阵b的秩（1的个数），就是矩阵a的秩，就是n
因为可逆且不改变秩，所以讨论矩阵b的情况，可以应用到矩阵a上。
我们随即看到，
如果线性变换b（或者说矩阵b）的秩是n，则线性变换b就是
对线性空间的前n个基做恒等映射（因为基向量组没有秩序，我们取前n个不会有原则性的问题）
后m-n个基做零变换，所构成的线性变换，线性变换b的特征多项式是(λ-1)^n
就可以快速找到n个线性无关的特征向量，这些特征向量直接取线性空间的前n个基就可以了。
我们得到的结论是，线性变换b秩是多少，就一定找到有多少个线性无关的特征向量。
因为一个特征向量只能属于一个特征值，
所以有多少个线性无关的特征向量，就有多少个特征值（不管你的特征值是不是一样）
这里有n个1，都是一样的（从特征多项式也知道有n个重根）
因为非退化的线性替换不改变空间的维数，不改变矩阵的秩。
下面我们解释重根为什么按重数计算，对矩阵b做初等行变换，
第i行乘以数域p上的数k≠1（当然，如果k=1纯属脱裤子放屁），
我们的特征多项式变为(λ-1)^(n-1)*(λ-k)，
其它初等变换相应类推。
借用学物理的思维，一个变换莫测的关系中，寻找守恒量是什么？这个是有意义的。
而做这样的非退化的线性变换变换，虽然特征值会随之改变，
但是守恒量是一定能找到n个线性无关的特征向量，其个数就是矩阵b（线性变换b）的秩是不变的。
这样我们就发现了守恒量，至于属于不同特征向量的特征值是否相等，纯属巧合，无意义。
有多少个碰巧相等的都无所谓，有多少个相等（相当于特征多项式的几次方），就当然重复计算。
最后来一个问题的封闭，题目说的是方阵a
这个简单，将矩阵b做一系列初等行变换，虽然特征多项式改变了，线性变换改变了，
特征多项式也变了，但是我们发现的守恒量n，是不变的。
10楼：吸血神龙
最佳答案错了吧，一个特征值可以对应多个线性无关的特征向量啊
秩为1的矩阵的特征多项式是怎么求出来的
11楼：电灯剑客
对于n阶矩阵，如果rank(a)=1，那么ax=0的线性无关的解有n-1个，说明零至少是n-1重特征值
a的所有特征值的和是trace(a)，所以余下那个可能非零的特征值就是trace(a)
这是最简单直接的方法
至于你的图里的方法，稍微有点绕了，不过也算是需要掌握的结论
n阶矩阵的特征矩阵的秩一定是n，该命题正确吗
12楼：普海的故事
如果n阶矩阵a的秩小于n，则a的行列式等于0，而行列式等于所有特征值的乘积，所以至少有一个特征值为0。
本回答由网
13楼：匿名用户
数字矩阵的特征矩阵是特殊的λ-矩阵。因为一个n阶数字矩阵a的特征矩阵 λen-a 的行列式是a的特征多项式 fa（λ） ，所以 r（λen-a）＝n 。注意到 λen-a 并不是可逆矩阵。
幂等矩阵的秩为什么等于它的迹
14楼：匿名用户
^由a^2=e可知a的特征值为x^2=1的根且a必然可对角化（特征多项式无重根），由相似多项式秩相等，可设a相似于b=diag｛er，0｝（r（a）=r），从而tr（a）=tr（b）=r（相似矩阵迹相等）
幂等矩阵(idempotent matrix)定义:若a为方阵，且a^2=a，则a称为幂等矩阵。
幂等矩阵概述
幂等矩阵（idempotent matrix）定义:若a为方阵，且a^2=a，则a称为幂等矩阵。
等价命题1：若a是幂等矩阵，则与a相似的任意矩阵是幂等矩阵；
等价命题2：若a是幂等矩阵，则a的ah,at,a*，e-ah，e-at都是幂等矩阵；
等价命题3：若a是幂等矩阵，则对于任意可逆阵t,t^(-1)·a·t也为幂等矩阵；
等价命题4：若a是幂等矩阵，a的k次幂任是幂等矩阵
（由于数学符号编辑问题，更多等价命题及其证明见扩展阅读1）
由于幂等矩阵所具有的良好性质及其对向量空间的划分，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要的作用，同时也为空间的投影过程提供了一种工具。
符号说明如下：
at为矩阵a的转置矩阵；
ah矩阵a的共轭转置矩阵；
a*为矩阵a的伴随矩阵；
e为单位矩阵
幂等矩阵性质
幂等矩阵的主要性质：
1.幂等矩阵的特征值只可能是0，1；
2.幂等矩阵可对角化；
3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr（a）=rank（a）；
4.可逆的幂等矩阵为e；
5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；
6.幂等矩阵a满足：a（e-a)=（e-a）a=0；
7.幂等矩阵a：ax=x的充要条件是x∈r（a）；
8.a的核n（a）等于（e-a）的列空间r（e-a）,且n（e-a）=r（a）。考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算：
1）设 a1，a2都是幂等矩阵，则(a1+a2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：a1·a2 =a2·a1 = 0，
且有：r(a1+a2) =r (a1) r (a2)；n(a1+a2) =n (a1)∩n(a2)；
2）设 a1， a2都是幂等矩阵，则(a1-a2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：a1·a2 =a2·a1=a2
且有：r(a1-a2) =r(a1)∩n (a2 )；n (a1 - a2 ) =n (a1 )r (a2 )；
3）设 a1，a2都是幂等矩阵，若a1·a2 =a2·a1，则a1·a2 为幂等矩阵，
幂等矩阵的运算
且有：r (a1·a2 ) =r (a1 ) ∩r (a2 )；n (a
1·a2 ) =n (a1 ) +n (a2 )。
15楼：权景胜严升
^先证其特征值只能为0和1
设k是他的特征值，a为其对应的特征向量
a^2a=aka=k^2a
因为a^2=a,故a^2a=aa=ka
(k^2-k)a=0,因为a为非零向量故k=0或1再证，矩阵的秩等于其非零特征值的个数。
因为a(a-e)=0
故n=r(a-(a-e))<=r(a)+r(a-e)<=n故(a-e)x=0的解空间维数恰为r(a)，那么1的重数》=r(a)类似的ax=0的解空间维数恰为r(a-e)，那么0的重数》=r(a-e)
但1的重数加0的重数不大于n，夹逼得1的重数=r(a)命题成立。
16楼：许初南圭闳
设a的特征值为t
有a^2x=t^2x=ax=tx
解得t=0或1，再证明a可对角化成diag(11..0
0..0)的形式
因为r(e)=n=r(e-a+a)≤
r(e-a)+r(a)
又因为(e-a)a=o
得r(e-a)+r(a)≤n
解得r(e-a)+r(a)=n
特征值为1相应的特征向量基础解系维数为
n-r(e-a)
特征值为0相应的特征向量基础解系维数为
n-r(-a)=n-r(a)
故一切特征向量的极大线性无关组的向量数是2n-r(e-a)-r(a)=n因此可以对角化成上述对角阵
有r个特征值为1就有a的秩为r
同时tr(a)等于特征值之和，也等于r*1=r
为什么nxn矩阵的特征多项式的秩一定是n?
17楼：宇文仙
不一定吧
是秩≤n
如果不懂，请追问，祝学习愉快！
因为a可对角化,λe-a的秩等于1。为什么求详细解释
18楼：独自倚花红
因为a可对角化，所以(e-a)x=0就有两个线性无关解，即e-a的秩是1。
详解：λe-a的零度就是λ的几何重数，如果a可对角化则几何重数等于代数重数。
问题里"λe-a的秩等于1"中的“1”是二重特征值。又因可对角化的矩阵的秩等于其非零特征值的个数。
推导过程：
a可对角化时, 存在可逆矩阵p使得 p^-1ap=diag(a1,..,an)
则 r(a) = r(p^-1ap) = rdiag(a1,...,an) = a1,...,an中非零元素的个数
而a的特征值即 a1,...,an
所以 r(a) 等于a的非零特征值的个数。
综上所述：(e-a)x=0就有两个线性无关解，即e-a的秩是1。
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