1楼：匿名用户
||||r为线性空间，|| ||为r到非负数的映射，如果|| ||满足
1.对r中的任意元素x，有||x||=0的充要条件为x=0。
2.对r中的任意元素x和y，有||x+y||<=||x||+||y||
3.对r中的任意元素x和任意实数a，有||ax||=|a| ||x||
则称|| ||为r上的一个范数。
理解方面，可以视为模或者距离的概念的推广
2楼：匿名用户
去翻翻泛函分析的书吧..这里讲很难讲清楚的无论是范数还是算子范数，如果简单的理解成为代数结构上的模的话很有助于理解。具体怎么算的，你可以看了书来
请教范数的简单解释？
3楼：匿名用户
若x是数域k上的线性空间，泛函 ║·║: x->r 满足： 1.
正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0； 2. 正齐次性：
║cx║=│c│║x║； 3. 次可加性(三角不等式)：║x+y║≤║x║+║y║ 。
那么║·║称为x上的一个范数。 （注意到║x+y║≤║x║+║y║中如令y=-x，再利用║-x║=║x║可以得到║x║≥0，即║x║≥0在定义中不是必要的。） 如果线性空间上定义了范数，则称之为赋范线性空间。
注记：范数与内积，度量，拓扑是相互联系的。 1.
利用范数可以诱导出度量：d(x,y)=║x-y║，进而诱导出拓扑，因此赋范线性空间是度量空间。 但是反过来度量不一定可以由范数来诱导。
2. 如果赋范线性空间作为(由其范数自然诱导度量d(x,y)=║x-y║的)度量空间是完备的，即任何柯西(cauchy)序列在其中都收敛，则称这个赋范线性空间为巴拿赫(banach)空间。 3.
利用内积<·,·>可以诱导出范数：║x║=^。 反过来，范数不一定可以由内积来诱导。
当范数满足平行四边形公式║x+y║^2+║x-y║^2=2(║x║^2+║y║^2)时，这个范数一定可以由内积来诱导。 完备的内积空间称为希尔伯特(hilbert)空间。 4.
如果去掉范数定义中的正定性，那么得到的泛函称为半范数(seminorm或者叫准范数)，相应的线性空间称为赋准范线性空间。完备的赋准范线性空间称为fréchet空间。 对于x上的两种范数║x║α,║x║β，若存在正常数c满足 ║x║β≤c║x║α 那么称║x║β弱于║x║α。
如果║x║β弱于║x║α且║x║α弱于║x║β，那么称这两种范数等价。 可以证明，有限维空间上的范数都等价，无限维空间上至少有阿列夫(实数集的基数)种不等价的范数。
关于范数的疑问
4楼：匿名用户
首先，你最好熟悉下矩阵常用的几种范数
形式，1-范数，2-范数，无穷范数，这三个比较常用的，范数其实还是一种度量，你看看上面提到的那几种范数，其规定的运算，本身就是对矩阵的一种度量，不难理解的。
至于你说的，第十页上那种定义，其实应该归于算子范数。矩阵左乘一个向量，矩阵就作为一个算子，一个矩阵后面可以乘上很多对应空间的向量，那就是其对向量的变换，所以矩阵这个时候就是一个算子。
算子范数又是对算子的度量，你看到的那个定义，分子是矩阵左乘一个向量后的范数，分母是该向量的范数，是不是就是说，矩阵作为算子对向量进行变换后，将该向量模长最大（max）放大多少倍。其本质是对矩阵运算的一种度量，不过这时候矩阵叫算子，应该是算子范数，***里简单的称为矩阵范数，没有错，但容易和前面的几种范数产生混淆，不便理解。
***第10页算子范数的公式，其实是一种定义，不存在推导不推导。
如有疑问，继续交流！
矩阵范数的理解和计算
5楼：电灯剑客
||这个仍然是诱导范数，只是自变量和因变量用不同的范数普通的p-范数是这样
||a||_p = sup ||ax||_p / ||x||_p，其中x非零
而||a||_ =sup ||ax||_b / ||x||_a，其中x非零
由于你这里涉及到一个抽象的q，想要给出||p||_的简单闭形式是不现实的，即使是||p||_q这样的范数也没有已知的简单形式
什么是矩阵的范数
6楼：小慎
在介绍主题之前，先来谈一个非常重要的数学思维方法：几何方法
。在大学之前，我们学习过一次函数、二次函数、三角函数、指数函数、对数函数等，方程则是求函数的零点；到了大学，我们学微积分、复变函数、实变函数、泛函等。我们一直都在学习和研究各种函数及其性质，
函数是数学一条重要线索，另一条重要线索——几何
，在函数的研究中发挥着不可替代的作用，几何是函数形象表达，函数是几何抽象描述，几何研究“形”，函数研究“数”，它们交织在一起推动数学向更深更抽象的方向发展。
函数图象联系了函数和几何，表达两个数之间的变化关系，
映射推广了函数的概念，使得自变量不再仅仅局限于一个数，也不再局限于一维，任何事物都可以拿来作映射，维数可以是任意维，传统的函数图象已无法直观地表达高维对象之间的映射关系，这就要求我们在观念中，把三维的几何空间推广到抽象的n维空间。
由于映射的对象可以是任何事物
，为了便于研究映射的性质以及数学表达，我们首先需要对映射的对象进行“量化”，取定一组“基”，确定事物在这组基下的坐标，事物同构于我们所熟悉的抽象几何空间中的点，事物的映射可以理解为从一个空间中的点到另一个空间的点的映射，而映射本身也是事物，自然也可以抽象为映射空间中的一个点，这就是泛函中需要研究的对象——函数。
从一个线性空间到另一个线性空间的线性映射，可以用一个矩阵来表达，矩阵被看线性作映射，线性映射的性质可以通过研究矩阵的性质来获得，比如矩阵的秩反映了线性映射值域空间的维数，
矩阵范数反映了线性映射把一个向量映射为另一个向量，向量的“长度”缩放的比例。
范数是把一个事物映射到非负实数，且满足非负性、齐次性、三角不等式，符合以上定义的都可以称之为范数，所以，范数的具体形式有很多种（由内积定义可以导出范数，范数还也可以有其他定义，或其他方式导出），要理解矩阵的算子范数，首先要理解向量范数的内涵。矩阵的算子范数，是由向量范数导出的，由形式可以知：
由矩阵算子范数的定义形式可知，矩阵a把向量x映射成向量ax
，取其在向量x范数为1所构成的闭集下的向量ax范数最大值作为矩阵a的范数，即矩阵对向量缩放的比例的上界，矩阵的算子范数是相容的。由几何意义可知，矩阵的算子范数必然大于等于矩阵谱半径（最大特征值的绝对值），矩阵算子范数对应一个取到向量ax范数最大时的向量x方向，谱半径对应最大特征值下的特征向量的方向。而矩阵的奇异值分解svd
，分解成左右各一个酉阵，和拟对角矩阵，可以理解为对向量先作旋转、再缩放、最后再旋转，奇异值，就是缩放的比例，最大奇异值就是谱半径的推广，所以，矩阵算子范数大于等于矩阵的最大奇异值，酉阵在此算子范数的意义下，范数大于等于1
。此外，不同的矩阵范数是等价的。
范数理论是矩阵分析的基础，度量向量之间的距离、求极限等都会用到范数，范数还在机器学习、模式识别领域有着广泛的应用。
7楼：匿名用户
最通俗易懂的解释是 矩阵的模 （就是所谓的绝对值）
如何理解范数的概念服从一定的公理体系
8楼：风海孤舟
大概是这样的：回忆一下拓扑的定义,它是有一系列开集满足一些公理定义的.两个拓扑是等价的是说他们的开集可以互相包含.
对于带范数的空间,所有的开集可以由范数定义的小开球并出来.也就是拓扑是由范数确定的.当两个范数等价时（说的是小球的半径在延伸或者压缩下是一样的）
可以用通俗易懂的话告诉我f范数是什么意思？有什么作用？谢谢
9楼：匿名用户
范数表示的是向量的长度或者矩阵的大小，它是一种运算，只要向量运算满足非负定性，其次性，三角不等式性和乘法相容性，矩阵运算满足上面的前三条性质就可以定义为范数运算，比如f=2的时候表示向量或者矩阵的2范数，f=1的时候代表1范数。常用向量范数的定义简单一些，就是所有元素绝对值的f次方相加再开f次方，常用矩阵范数有1范数2范数和无穷范数，1范数就是列范数，矩阵的各列绝对值之和的最大值，无穷范数就是行范数，矩阵各行的绝对值之和的最大值，2范数就是镨范数，它在矩阵不为0的时候等于矩阵的谱半径。
谁能用最简明扼要的方式说下什么叫范数，最小范数？应用在什么地方？粘那么大段看的都累。。。
10楼：电灯剑客
利用正定性、半齐次性和三角不等式给的定义方式就是目前为止最简明扼要的，再要简明就不严格了。既然都已经学到范数了，这种定义方式应该不是很难接受，具体的例子又很容易找，完全不应该感到太抽象才对。
比如讲，范数是比较抽象的量的一种“长度”，是绝对值的推广，比较主要的应用是误差分析，范数中的相容性也主要是为了这个目的而提出的。这种**很通俗，但是只能在已经有定义的情况下帮助理解。
至于最小范数，就是不存在比它更小的相容范数。对于相容性||ab||<=||a||*||b||而言，即使是不满足相容性的矩阵范数，也总可以在扩大一个常数倍后变成相容范数，其中最小的那个就得到最小范数。
矩阵里面的范数有什么意义？
11楼：残帆影
举个例子 在数值计算中计算矩阵的算法中常常要判断算法的解是否收敛 这时最准确的方法是判断矩阵的最大特征值 但是矩阵的特征值得计算相对麻烦 所以可以近似的用范数代替 但是不够准确 但是很高效
理论上讲范数的概念属于赋范线性空间，最重要的作用是诱导出距离，进而还可以研究收敛性。 对于矩阵而言没必要考虑范数的区别，因为有限维空间的范数都等价(minkowski定理)，实际应用当中根据使用的难易程度来选取范数。其中理论性质最好的是2-范数，因为它可以由内积来诱导，同时和谱有着密切关联，所以常用来进行理论分析。